ℝⁿ, die Aussage \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int}\limits_{\bar{T}}f(y)\ dy=\displaystyle \mathop{\int}\limits_{\bar{M}}f(\varphi (x))|\det {\varphi}^{\prime}(x)|dx,\end{eqnarray} die unter folgenden Voraussetzungen gültig ist: Es seien n ∈ ℕ, M und T offene Jordan-meßbare Teilmengen des ℝⁿ, \(\varphi :\bar{M}\to {{\mathbb{R}}}^{n}\) stetig differenzierbar, ϕ/_M: M → T bijektiv und in beiden Richtungen stetig differenzierbar und \(f:\bar{T}\to {\mathbb{R}}\) eine stetige Funktion.

Ein Beweis dieses Satzes ist, auch mit den leistungsfähigeren Hilfsmitteln der Lebesgueschen Integrationstheorie, langwierig und nicht ganz einfach. Man vergleiche dazu etwa [2].

Der Satz – wie seine Entsprechung für das Lebesgue-Integral – ist ein sehr wichtiges Hilfsmittel zur Berechnung mehrdimensionaler Integrale. Er ist insbesondere dann hilfreich, wenn über Bereiche zu integrieren ist, bei denen die Beschreibung durch kartesische Koordinaten unangemessen kompliziert ist, weil zum Beispiel die spezielle geometrische Struktur nicht berücksichtigt wird. Bei wichtigen Beispielen – etwa Polar- und Kugelkoordinaten – sind die Voraussetzungen aber oft nicht auf dem ganz Bereich gegeben. Dies erledigt man dann, wie an folgendem Beispiel gezeigt, durch kleine Zusatzüberlegungen. Will man solche vermeiden, so kann man den Satz verbessern, d. h. die Voraussetzungen abschwächen, wie es etwa in [1] ausgeführt ist.

Beispiel: Einführung von Polarkoordinaten im ℝ² durch: \begin{eqnarray}{\rm{\Phi}}:[0,\infty)\times [0,2\pi ]\ni \left(\begin{array}{c}\varrho \\ \vartheta \end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}\varrho \cos \vartheta \\ \varrho \sin \vartheta \end{array}\right)\in {{\mathbb{R}}}^{2}\end{eqnarray} Φ ist surjektiv und stetig differenzierbar mit \(\rm{\Phi}^{\prime}\left(\begin{array}{c}\varrho \\ \vartheta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \vartheta & -\varrho \sin \vartheta \\ \sin \vartheta & \varrho \cos \vartheta\end{array}\right)\) also det \({{\rm{\Phi}}}^{\prime}\left(\begin{array}{c}\varrho \\ \vartheta \end{array}\right)=\varrho \).

Für ℝ ∋ r > 0 und \(F:=\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\in {{\mathbb{R}}}^{2}:{x}^{2}+{y}^{2}\le {r}^{2}\}\) ist die Kreisfläche μ₂(F) gesucht; man findet: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}T:=\left\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\in {{\mathbb{R}}}^{2}:{x}^{2}+{y}^{2}\lt {r}^{2}\right\}\backslash \left\{\left(\begin{array}{c}x\\ 0\end{array}\right):{\mathbb{R}}\ni x\ge 0\right\}\\ M:=(0,r)\times (0,2\pi);\ \ \ \varphi :{\rm{\Phi}}{/}_{\overline{M}};f\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right):=1\ \ \ \ \ (\cdots)\\ {\mu}_{2}(F)=\displaystyle \mathop{\int}\limits_{\overline{T}}f({\mathfrak{y}})d{\mathfrak{y}}=\displaystyle \mathop{\int}\limits_{\overline{M}}f(\varphi ({\mathfrak{x}}))\varrho d{\mathfrak{x}} \left({\mathfrak{y}}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),\ {\mathfrak{x}}=\left(\begin{array}{c}\varrho \\ \vartheta \end{array}\right)\right)\\ =\displaystyle \underset{0}{\overset{r}{\int}}\left(\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi}{\int}}\varrho d\vartheta \right)d\varrho =\pi {r}^{2}\end{array}\end{eqnarray}

[1] Heuser, H.: Lehrbuch der Analysis, 2. Teubner-Verlag Stuttgart, 1993.
[2] Hoffmann, D.; Schäfke, F.-W.: Integrale. B.I.-Wissenschaftsverlag Mannheim Berlin, 1992.
[3] Walter, W.: Analysis 2. Springer-Verlag Berlin, 1992.