eine Splinefunktion, welche Periodizitätsbedingungen genügt.

Es seien a = x₀ < x₁ <…< x_k < x_k+1 = b vorgebene Knoten und m eine natürliche Zahl. Der Raum der periodischen Splines P_m(x₁,…,x_k) vom Grad m hinsichtlich diesen Knoten ist definiert durch \begin{eqnarray}\begin{array}{c}{P}_{m}({x}_{1},\ldots, {x}_{k})=\{s\in {S}_{m}({x}_{1},\ldots, {x}_{k}):\\ {s}^{(j)}(a)={s}^{(j)}(b),\,\,j=0,\ldots, m-1\}.\end{array}\end{eqnarray}

Hierbei ist S_m(x₁,…,x_k) der Raum der Spline-funktionen, also die Menge aller (m − 1)-fach differenzierbaren Funktionen, die stückweise Polynome vom Grad m hinsichtlich der vorgegebenen Knotenmenge sind.

Die Dimension von P_m(x₁,…,x_k) stimmt mit der Anzahl der Knotenintervalle überein und ist somit gleich k + 1. Im Gegensatz zum (Standard-) Splineraum S_m(x₁,…,x_k) besitzt der periodische Splineraum P_m(x₁,…,x_k) nur genau dann die schwach-Tschebyschewsche (schwach Haarsche) Eigenschaft (d. h., die Anzahl der Vorzeichenwechsel jeder Funktion ist beschränkt durch die Zahl d − 1, wobei d die Dimension ist), wenn seine Dimension ungerade ist. Im verbleibenden Fall gerader Dimension existieren periodische Splines mit k + 1 Vorzeichenwechseln. Dieser strukturelle Unterschied hat weitreichende Konsequenzen für die Theorie der Interpolation und Approximation mit periodischen Splines gerader Dimension.

Für vorgegebene a < t₀ <…< t_k ≤ b besteht das Problem der Spline-Interpolation mit periodischen Splines aus der Aufgabe, für eine beliebig vorgegebene stetige Funktion f mit der Periodizitätseigenschaft f (a) = f (b) einen (eindeutigen) periodischen Spline pf ∈ P_m(x₁,…,x_k) so zu bestimmen, daß gilt: \begin{eqnarray}{p}_{f}({t}_{j})=f({t}_{j}),\,\,j=0,\ldots, k.\end{eqnarray}

Ist die Dimension von P_m(x₁,…,x_k) ungerade, so lassen sich Interpolationsmengen T = {t₀,…,t_k} analog der Situation für S_m(x₁,…,x_k) durch (periodische) Schoenberg-Whitney-Bedingungen charakterisieren: In jedem Intervall der Form (x_i, x_i+m+j) sollten mindestens j Punkte von T liegen.

Im Fall gerader Dimension von P_m(x₁,…,x_k) sind diese Bedingungen jedoch nur notwendig und nicht hinreichend. Die in diesem Fall auftretenden algebraischen Bedingungen sind i. allg. schwierig zu analysieren. Der nächste Satz beschreibt den einzigen zur Zeit (2001) bekannten Fall (m = 1), der für beliebige Knotenmengen Interpolationsmengen T vollständig charakterisiert.

Es seien k ungerade und m = 1. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(i) Das Interpolationsproblem hinsichtlich T besitzt stets eine eindeutige Lösung aus P₁(x₁,…,x_k).

(ii) Eine der folgenden beiden Aussagen gilt:

(a) T erfüllt die Schoenberg-Whitney-Bedingungen, und es existiert ein Intervall [x_i, x_i+1], welches genau 2 Punkte aus T enthält.

(b) T erfüllt t_j = x_j + λ_j(x_j+1 − x_j), für geeignete λ_j ∈ (0, 1), j = 0,…,k, und es gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \prod _{j=0}^{k}\frac{(1-{\lambda }_{j})}{{\lambda }_{j}}\ne 1.\end{eqnarray}

Für äquidistante Knotenmengen, d. h. x_j+1 − x_j = c, j = 0,…,k, und die spezielle Wahl t_j = x_j + λc, j = 0,…,k, mit λ ∈ (0,1] gilt die folgende Aussage:

Es sei k ungerade. Das Interpolationsproblem besitzt genau dann stets eine eindeutige Lösung aus P_m(x₁,…,x_k), wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

(i) m ist ungerade und \(\lambda \ne \frac{1}{2}\),

(ii) m ist gerade und λ ≠ 1.

Bei den verschiedenen Herleitungen diese Aussage treten die verallgemeinerten Euler-Frobenius- Polynome \begin{eqnarray}{H}_{m}(\lambda, z)={(1-z)}^{m+1}\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{(\lambda +v)}^{m}{z}^{v},\,\,z\in {\mathbb{C}},\end{eqnarray} auf. Insbesondere ist hierbei die Differenzengleichung dieser Klasse von Polynomen von zentraler Bedeutung: \begin{eqnarray}{H}_{m}(\lambda, z)-z{H}_{m}(\lambda +1,z)={(1-z)}^{m+1}{\lambda }^{m}.\end{eqnarray}

Neuere Untersuchungen zeigen, daß die Aussage des letztgenannten Satzes genau dann auf nichtäquidistante Knotenmengen verallgemeinert werden kann, wenn m gerade ist.

Wählt man speziell die Knoten als Interpolationstellen, d. h. t_j = x_j+1, j = 0,…,k, so besitzt der zugehörige periodische Interpolationspline ungeraden Grades die folgende Minimierungseigenschaft.

Es seien k beliebig, m = 2r + 1, und p_f ∈ P_m(x₁,…,x_k) die eindeutige Lösung des Interpolationsproblems. Dann gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}{({p}_{f}^{(r+1)}(t))}^{2}dt\lt \displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}{({g}^{(r+1)}(t))}^{2}dt\end{eqnarray}für jede Funktion g ∈ C^r+1 [a, b] mit den folgenden Eigenschaften:

(i) g ≠ Pf,

(ii) g(x_j+1) = f(x_j+1), j = 0,…,k,

(iii) g^(j)(a) = g^(j)(b), j = 0,…,r.

Die aktuelle Forschung beschäftigt sich mit Fragen der Konstruktion von periodischen Splinewavelets und behandelt die beste Approximation sowie starke Eindeutigkeit der besten Spline- Approximation für periodische Splines.

[1] Zeilfelder, F.: Interpolation und beste Approximation mit periodischen Splinefunktionen. Dissertation, Universität Mannheim, 1996.