funktionalanalytischer Begriff.

Ist T ein Operator eines Banachraums in sich, so heißt S Linksparametrix von T, wenn ST − 1 kompakt ist, und Rechtsparametrix, wenn TS − 1 kompakt ist. S heißt Parametrix, wenn S sowohl Links- als auch Rechtsparametrix ist.

Daneben definiert man speziell für Differential- und Pseudodifferentialoperatoren eine Parametrix auch durch die Forderung, daß TS − 1 und TS − 1 Glättungsoperatoren sind, also aus der Symbolklasse S^−∞ stammen. Es läßt sich zeigen, daß hierdurch keine zusätzliche Forderung gestellt wird und eine Parametrix in diesem strengen Sinne mittels einer expliziten Iteration aus einer Parametrix im ersteren Sinne gewonnen werden kann.

Eine Parametrix eines elliptischen Pseudodifferentialoperators T auf einem kompakten Gebiet G \begin{eqnarray}\begin{array}{c}Tf(x)={(2\pi )}^{-(n+N)/2}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{{\mathbb{R}}}^{N}}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{{\mathbb{R}}}^{n}}{e}^{i(\vartheta,x-y)}\\ a(x,\vartheta )f(y)\,{d}^{n}y\,{d}^{N}\vartheta,\end{array}\end{eqnarray} mit Symbol a läßt sich konstruieren, indem man S als einen Pseudodifferentialoperator definiert, dessen Symbol für ϑ außerhalb einer Umgebung um Null durch die Matrixinverse von a gegeben ist und glatt zu Null bei ϑ = 0 fortgesetzt wird. Durch diese Konstruktion werden ST − 1 und TS − 1 Pseudodifferentialoperatoren der Ordnung −1, die aufgrund des Satzes von Rellich kompakt sind. Mit Hilfe der Parametrix lassen sich dann Regularitätseigenschaften der Eigenfunktionen elliptischer Pseudodifferentialoperatoren zeigen.

Ein Operator T ist dann und nur dann ein Fredholm-Operator, wenn er eine Parametrix besitzt.