Aussage über den Differentialoperator, wie er im Sturm-Liouvilleschen Randwertproblem auftritt.

Seien n ∈ ℕ und r_k, s_k ∈ ℕ₀, sowie I ⊂ ℝ ein Intervall und a_k : I → ℝ sowohl r_k-mal als auch s_k-mal differenzierbar für alle k ∈ {0, …, n}.

Für den Differentialoperator L, definiert durch \begin{eqnarray}Ly:=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{[{a}_{k}(x){y}^{({r}_{k})}]}^{({s}_{k})},\end{eqnarray}

und den entsprechenden adjungierten Operator \begin{eqnarray}L* y=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{(-1)}^{{r}_{k}+{s}_{k}}{[{a}_{k}(x){y}^{({s}_{k})}]}^{({r}_{k})},\end{eqnarray}

sowie für max_{k∈{0,…,n}}{(r_k + s_k)}-mal differenzier-bare Funktionen u, v gilt dann die Lagrangesche Identität: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\upsilon Lu-uL* \upsilon =\frac{d}{dx}\tilde{L}[u,\upsilon ]. \end{array}\end{eqnarray}

Dabei ist \(\tilde{L}\) der bilineare Differentialoperator \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\tilde{L}[u,\upsilon ]:= & = & \displaystyle \sum _{k=0}^{n}[\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}p,q\\ p+q={s}_{k}-1\end{array}}(-{1}^{p}){({a}_{k}{u}^{({r}_{k})})}^{(q)}{\upsilon }^{(p)}-\\ & & -\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}p,q\\ p+q={r}_{k}-1\end{array}}{(-1)}^{{r}_{k}+{s}_{k}+p}{({a}_{k}{\upsilon }^{({s}_{k})})}^{(q)}{u}^{(p)}].\end{array}\end{eqnarray}

Gebräuchlicher und handlicher ist die Lagrangesche Identität speziell für Sturm-Liouvillesche Randwertprobleme 2. Ordnung. Hier hat der Differentialoperator L die Form \begin{eqnarray}Ly=(p(x){y}^{^{\prime} }{)}^{^{\prime} }+q(x)y.\end{eqnarray}

Dabei soll p stetig differenzierbar und q stetig auf dem Intervall I ⊂ ℝ sein. Zusätzlich muß p(x) > 0 für alle x ∈ I gelten. L ist dann ein selbstadjungierter Operator, d. h. L = L^∗, und die Lagrangesche Identität besagt dann für u, v ∈ C²(I): \begin{eqnarray}uL\upsilon -\upsilon Lu=\frac{d}{dx}[p(x)(u{\upsilon }^{^{\prime} }-\upsilon {u}^{^{\prime} })].\end{eqnarray}

Durch Übergang zu einem bestimmten Integral erhält man zudem aus der Lagrangeschen Identität (1) die sog. Greensche Formel: \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}(\upsilon Lu-uL* \upsilon )dx=\tilde{L}[u,\upsilon ]{|}_{a}^{b}.\end{eqnarray}

[1] Heuser, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. B. G. Teubner Stuttgart, 1989.