Lexikon der Mathematik: faktorieller Ring
Ring mit einer Zerlegungseigenschaft.
Es sei R ein Integritätsring und R∗ die Menge aller Einheiten von R, das heißt, die Menge aller Elemente x ∈ R, für die es ein y ∈ R gibt mit x · y =1. Dann heißt R ein faktorieller Ring, wenn es zu jedem x ∈ R\R∗ mit x ≠ 0 Primelemente p1,…, pr ∈ R gibt, so daß x = p1 ··· pr gilt.
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Äquivalent dazu ist die Bedingung: Zu jedem x ∈ R\R∗ mit x ≠ 0 gibt es irreduzible Elemente q1,…, qr ∈ R, so daß a = q1 ··· qr gilt, wobei jedes irreduzible Element von R ein Primelement ist.
Jeder Hauptidealring ist ein faktorieller Ring. Insbesondere ist jeder Polynomring in einer Unbestimmten über einem Körper ein faktorieller Ring.
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