doppelt-periodische Funktion, eine in ℂ meromorphe Funktion f mit zwei über ℝ linear unabhängigen Perioden.

Zur genauen Definition benötigt man zunächst den Begriff des Gitters. Es seien ω₁, ω₂ ⊂ ℂ \ {0} linear unabhängig über ℝ, d.h. ω₁/ω₂ ∉ ℝ. Dann heißt die Menge \begin{eqnarray}L:={\mathbb{Z}}{\omega }_{1}+{\mathbb{Z}}{\omega }_{2}=\{m{\omega }_{1}+n{\omega }_{2}:m,n\in {\mathbb{Z}}\}\end{eqnarray} ein Gitter. Eine elliptische Funktion zum Gitter L ist eine in ℂ meromorphe Funktion f mit \begin{eqnarray}f(z+\omega )=f(z)\end{eqnarray} für alle ω ∈ L und z ∈ ℂ. Es genügt, diese Eigenschaft nur für die Erzeugenden ω₁ und ω₂ von L zu fordern, d. h. \begin{eqnarray}f(z+{\omega }_{1})=f(z+{\omega }_{2})=f(z)\end{eqnarray} für alle z ∈ ℂ. Die Menge L heißt auch Periodengitter von f, und die Menge \begin{eqnarray}P:=\{{t}_{1}{\omega }_{1}+{t}_{2}{\omega }_{2}:{t}_{1},{t}_{2}\in [0,1)\}\end{eqnarray} heißt Periodenparallelogramm. Jede Menge der Form \begin{eqnarray}F:=\{a+{t}_{1}{\omega }_{1}+{t}_{2}{\omega }_{2}:{t}_{1},{t}_{2}\in [0,1)\}\end{eqnarray} mit a ∈ ℂ heißt ein Fundamentalbereich des Gitters L. Das Periodenparallelogramm ist ein Fundamentalbereich, aber nicht umgekehrt.

Ist L ein Gitter und w, z ∈ ℂ mit w − z ∈ L, so heißen w und z kongruent bezüglich des Gitters L. Man schreibt dafür w ≡ z (mod L).

Die grundlegenden Eigenschaften elliptischer Funktionen werden durch die Liouvilleschen Sätze beschrieben.

(1. Liouvillescher Satz): Eine elliptische Funktion ohne Polstellen ist konstant.

(2. Liouvillescher Satz): Es sei f eine elliptische Funktion zum Gitter L. Dann hat f nur endlich viele Polstellen a₁, …, a_n im Periodenparallelogramm P, und für die Residuen gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v=1}^{n}\text{Res}(f,{a}_{v})=0.\end{eqnarray}

Ist f eine nichtkonstante elliptische Funktion zum Gitter L und sind a₁, …, a_n die Polstellen von f im Periodenparallelogramm P mit den Polstellenordnungen m(f, a₁), …, m(f, a_n), so heißt die natürliche Zahl \begin{eqnarray}\text{Ord}f:=m(f,{a}_{1})+\cdots +m(f,{a}_{n})\end{eqnarray} die Ordnung der elliptischen Funktion f. Aus dem 2. Liouvilleschen Satz folgt, daß eine nichtkonstante elliptische Funktion f im Periodenparallelogramm P mindestens zwei Polstellen oder mindestens eine mehrfache Polstelle besitzt. Insbesondere gilt Ord f ≥ 2.

(3. Liouvillescher Satz): Es sei f eine nichtkonstante elliptische Funktion zum Gitter L.

Dann nimmt f im Periodenparallelogramm P jeden Wert a ∈ ℂ genau m-mal an, wobei m = Ordf und die Vielfachheit zu berücksichtigen ist, d. h. zu jedem a ∈ ℂ gibt es genau k ≤ m verschiedene Punkte z₁, …, z_k ∈ P mit f (z_j) = a für j = 1, …, k und \begin{eqnarray}v(f,{z}_{1})+\cdots +v(f,{z}_{k})=m,\end{eqnarray}wobei v(f, z_j) die Vielfachheit der a-Stelle z_j bezeichnet.

Es gilt ferner der wichtige Satz:

Eine elliptische Funktion eines gegebenen Gitters ist bis aufeinemultiplikativeKonstantedurch die Angabe ihrer Pole und Nullstellen, nebst der Ordnungen, eindeutig bestimmt.

Es soll nun eine nichtkonstante elliptische Funktion f zu einem Gitter L konstruiert werden. Als einfachster Kandidat kommt eine Funktion der Ordnung 2 in Frage, und zwar

1. eine Funktion mit genau einer Polstelle in P der Ordnung 2 und Residuum 0, oder
2. eine Funktion mit genau zwei einfachen Polstellen in P und Residuensumme 0.

Es wird hier i.w. nur die 1. Möglichkeit betrachtet. Die Idee ist, eine unendliche Reihe der Form \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{\omega \in L}\frac{1}{{(z-\omega )}^{2}}\end{eqnarray} zu betrachten. Diese Reihe ist jedoch nicht konvergent. Daher fügt man sog. konvergenzerzeugende Summanden an und setzt \begin{eqnarray}\wp (z):=\frac{1}{{z}^{2}}+\displaystyle \sum _{\omega \in L\backslash \{0\}}\left[\frac{1}{{(z-\omega )}^{2}}-\frac{1}{{\omega }^{2}}\right].\end{eqnarray}

Dies ist dann tatsächlich eine elliptische Funktion mit der gewünschten Eigenschaft. Sie wurde von Weierstraß (1863) eingeführt und heißt daher auch Weierstraßsche elliptische Funktion oder Weierstraßsche ℘-Funktion. Sie ist in einem gewissen Sinne die wichtigste elliptische Funktion, und eine ausführliche Behandlung ist unter dem letztgenannten Stichwort zu finden.

Die Menge aller elliptischen Funktionen zu einem Gitter L bildet bezüglich der punktweisen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Funktionen einen Körper, den man mit K(L) bezeichnet. Der Körper K(L) enthält alle konstanten Funktionen, und ist f ∈ K(L), so ist auch f′ ∈ K(L). Es ist möglich, diesen Körper algebraisch genau zu charakterisieren.

In der modernen Literatur wird die Theorie der elliptischen Funktionen in der Regel auf der Weierstraßschen ℘-Funktion aufgebaut. Der historisch erste Zugang erfolgte jedoch über die Jacobischen elliptischen Funktionen cosinus amplitudinis, delta amplitudinis und sinus amplitudinis (siehe hierzu auch das Stichwort Amplitudinis-funktion) bzw. über Thetafunktionen. Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind Lösungen der o. g. zweiten Möglichkeit, denn sie haben genau zwei einfache Polstellen in P und Residuensumme 0.

Literatur

[1] Fischer, W.; Lieb, I.: Ausgewählte Kapitel aus der Funktionentheorie. Friedr. Vieweg&Sohn Braunschweig, 1988.

[2] Freitag, E.; Busam, R.: Funktionentheorie. Springer-Verlag Berlin, 1993.

[3] Tricomi, F.: Elliptische Funktionen. Akademische Verlagsgesellschaft Leipzig, 1948.